設(shè)雙曲線C：（a>0，b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），離心率， A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)M（1，2）.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求直線AB方程；
（3）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？為什么？
(1) (2)  （3）是，理由見(jiàn)解析

試題分析：
(1)根據(jù)題意已知,則利用雙曲線a,b,c之間的關(guān)系與離心率的定義即可求出的值,進(jìn)而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)根據(jù)題意可得AB為雙曲線的一條弦,要求弦所在直線,還需要斜率,可以采用點(diǎn)差法利用弦的中來(lái)求解弦的斜率,已知了弦所在直線的斜率與弦上的中點(diǎn)坐標(biāo),再利用直線的點(diǎn)斜式即可求出弦所在直線的方程.
(3)由(2)可得AB直線的方程,聯(lián)立直線AB與雙曲線的方程消元解二次方程即可得到A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),已知AB線段的斜率與中點(diǎn)即可求的AB垂直平分線的直線方程,聯(lián)立垂直平分線與雙曲線的方程消元解二次方程即可求的CD兩點(diǎn)的坐標(biāo).
試題解析：
（1）依題意得，解得a=1.                         （1分）
所以，                                    （2分）
故雙曲線C的方程為.                                  （3分）
（2）設(shè)，則有 .
兩式相減得： ，             （4分）
由題意得，，，                     （5分）
所以，即.                         （6分）
故直線AB的方程為.                                     （7分）
（3）假設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)共圓，且圓心為P. 因?yàn)锳B為圓P的弦，所以圓心P在AB垂直平分線CD上；又CD為圓P的弦且垂直平分AB，故圓心P為CD中點(diǎn)M. （8分）
下面只需證CD的中點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可.
由得：A（-1，0），B（3，4）.                         （9分）
由（1）得直線CD方程：，                             （10分）
由得：C（-3+，6-），D（-3-，6+），  （11分）
所以CD的中點(diǎn)M（-3，6）.                                      （12分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042055059971.png" style="vertical-align:middle;" />，，
，，            （13分）
所以，
即 A、B、C、D四點(diǎn)在以點(diǎn)M（-3，6）為圓心，為半徑的圓上.  （14分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到的距離等于焦距.
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，是否存在直線，使得△與△的面積比值為？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且，試判斷的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為和，且||=2，
點(diǎn)（1，）在該橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的面積為，求以為圓心且與直線相切圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓的離心率是，分別是橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)。點(diǎn)是軸上位于右側(cè)的一點(diǎn)，且滿足．

（1）求橢圓的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，再作直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．求證：以線段為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓心在第二象限、半徑為2的圓C與直線y=x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓+=1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
(1)求圓C的方程.
(2)試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q,使Q到橢圓的右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長(zhǎng),若存在,請(qǐng)求出Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

給出下列命題：
（1）設(shè)、為兩個(gè)定點(diǎn)，為非零常數(shù)，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線；
（2）若等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則必有；
（3）若的最小值為2；
（4）雙曲線有相同的焦點(diǎn)；
（5）平面內(nèi)到定點(diǎn)（3，-1）的距離等于到定直線的距離的點(diǎn)的軌跡是拋物線.
其中正確命題的序號(hào)是               .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M(2，t)(t>0)在直線x＝(a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距)上．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求以O(shè)M為直徑且被直線3x－4y－5＝0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；
(3)設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,焦距為2,過(guò)F1作垂直于橢圓長(zhǎng)軸的弦PQ,|PQ|為3.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若過(guò)F1的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),判斷是否存在直線l使得∠AF2B為鈍角,若存在,求出l的斜率k的取值范圍.

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