如圖甲,已知PA垂直于⊙O所在平面,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C為圓周上異于AB的一點(diǎn).

(1)若一個(gè)面體中有個(gè)面是直角三角形,則稱這個(gè)面體的直度為.那么四面體的直度為多少?說明理由;

(2)在四面體中,,設(shè).若動(dòng)點(diǎn)在四面體 表面上運(yùn)動(dòng),并且總保持.設(shè)為動(dòng)點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形的面積關(guān)于角的函數(shù),求取最大值時(shí),二面角的正切值.

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解:(1)四面體的直度為1.

理由如下:由AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C為圓周上異于AB的一點(diǎn),故AC⊥BC,  從而底面為△。又PA垂直于⊙O所在平面,有PA⊥AB,PA⊥AC,故△PAB、△PAC都為△。又AC為PC在面ABC內(nèi)的射影,由三垂線定理知PC⊥BC,故△PCB為△。綜上知四面體的四個(gè)面都為△,所以四面體的直度為1. -----------------4分

(2)∵動(dòng)點(diǎn)在四面體表面上運(yùn)動(dòng),并且總保持,

∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)A作PB的垂面與四面體表面的交線圍成的三角形。

如圖乙:平面,并且平面與四面體的三個(gè)側(cè)面分別交于AE、AF、EF.

易知即為二面角的平面角.

AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C為圓周上異于AB的一點(diǎn),∴BC⊥AC

∵PA⊥面ABC,BC平面ABC,∴BC⊥PA,故BC⊥面PAC,∵AF平面PAC,∴AF⊥BC.

又平面知AF⊥PB,∴AF⊥面PBC.又EF平面PBC,AF⊥FE,則△.

△PAB中,,,則AE=

△ACB中,,,有

又在△PAC中,

中,

=

=

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)

此時(shí)

取最大值時(shí)二面角的正切值為1.------------12分

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