已知正方形ABCD，E、F分別是AB、CD的中點，將△ADE沿DE折起，如圖所示，記二面角A-DE-C的大小為θ(0＜θ＜π).

(1)證明BF∥平面ADE；

(2)若△ACD為正三角形，試判斷點A在平面BC?DE內(nèi)的射影G是否在直線EF上，證明你的結(jié)論，并求角θ的余弦值.

 (1)證明：E、F分別是正方體ABCD的邊AB、CD的中點.

∴EB∥FD，且EB=FD.

∴四邊形EBFD是平行四邊形.

∴BF∥ED.

∵ED平面AED，而BF平面AED.

∴BF∥平面AED.   

(2)點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.

過點A作AG⊥平面BCDE，垂足為G，連結(jié)GC、GD.

∵△ACD為正三角形.

∴AC=AD，∴GC=GD.

∴G在CD的垂直平分線上.

又∵EF是CD的垂直平分線，∴點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.   

過G作GH⊥ED.垂足為H.連結(jié)AH，則AH⊥DE，∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角.即∠AHG=θ.

設(shè)原正方形ABCD的邊長為2a，連結(jié)AF.

在折后圖的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，

∴△AEF為直角三角形，AG·EF=AE·AF.

∴AG=.

在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE.

∴AH=.∴GH=.

∴cosθ=.   


解析:

空間直線和平面

練習(xí)冊系列答案
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已知正方形ABCD的邊長為2，點P為對角線AC上一點，則（
.
AP
+
.
BD
）•（
.
PB
+
.
PD
）的最大值為
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正方形ABCD邊長為1，則|
AB
+
BC
+
AC
|=（　�。�
A、0
B、2
C、
2
D、2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正方形ABCD的邊長為1，分別取邊BC、CD的中點E、F，連接AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕，折疊使點B、C、D重合于一點P．
（1）求證：AP⊥EF；
（2）求證：平面APE⊥平面APF；
（3）求異面直線PA和EF的距離．

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精英家教網(wǎng)已知正方形ABCD．E、F分別是AB、CD的中點，將△ADE沿DE折起，如圖所示，記二面角A-DE-C的大小為θ（0＜θ＜π）．
（Ⅰ）證明BF∥平面ADE；
（Ⅱ）若△ACD為正三角形，試判斷點A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上，證明你的結(jié)論，并求角θ的余弦值．

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（2008•虹口區(qū)二模）（理）已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，PD=3，
（1）若E是棱PB上一點，過點A、D、E的平面交棱PC于F，求證：BC∥EF；
（2）求二面角A-PB-D的大�。�

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