Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2

6

=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（-4，0），過點R（3，0）作與x軸不重合的直線l交橢圓于P，Q兩點，連結(jié)AP，AQ分別交直線x=

16

3

于M，N兩點，試探究直線MR、NR的斜率之積是否為定值，若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出b=

|2 6 |

2

=2

3

，e=

1

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），設(shè)直線PQ：x=my+3，與橢圓方程聯(lián)立，得（3m²+4）y²+18my-21=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線MR、NR的斜率為定值-

12

7

．

解答： 解：（1）由題意：b=

|2 6 |

2

=2

3

（2分）
e2=

a2-b2

a2

=

1

4

⇒a2=16（4分）
故橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1（5分）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），若直線PQ與縱軸垂直，
則M，N中有一點與A重合，與題意不符，
故可設(shè)直線PQ：x=my+3．（6分）
將其與橢圓方程聯(lián)立，消去x得：（3m²+4）y²+18my-21=0（7分）
y1+y2=

-18m

3m2+4

，y1y2=

-21

3m2+4

（8分）
由A，P，M三點共線可知，

yM

16 3 +4

=

y1

x1+4

，yM=

28

3

•

y1

x1+4

，（9分）
同理可得yN=

28

3

•

y2

x2+4

（10分）
kMR•kNR=

yM

16 3 -3

•

yN

16 3 -3

=

9yM•yN

49

=

16y1y2

(x1+4)(x2+4)

（11分）
而(x1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7)=m2y1y2+7m(y1+y2)+49（12分）
所以kMR•kNR=

16× -21 3m2+4

m2• -21 3m2+4 +7m• -18m 3m2+4 +49

=

16×(-21)

4×49

=-

12

7

故直線MR、NR的斜率之積為定值-

12

7

．（14分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線的斜率之積為定值的判斷與證明，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的合理運用．