分析 (1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)f(x)的解析式,可得f(2x)的解析式,再根據(jù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律求得g(2x)的解析式,再利用正弦函數(shù)的定義域和值域,求得函數(shù)g(x)的值域.
(2)由條件利用正弦定理,求得a的值,可得△ABC的面積.
解答 解:(1)∵$f(x)=cos2x+4sinx{sin^2}({\frac{x}{2}+\frac{π}{4}})$=$cos2x+4sinx•\frac{{1-cos({x+\frac{π}{2}})}}{2}$
=cos2x+2sinx+2sin2x=cos2x-sin2x+2sinx+2sin2x=1+2sinx,
∴函數(shù)f(2x)=1+2sin2x 的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到函數(shù)
g(x)=1+2sin2(x-$\frac{π}{6}$)=1+2sin(2x-$\frac{π}{3}$)的圖象,
∵$x∈[{\frac{π}{12},\frac{π}{2}}]$,∴$2x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{6},\frac{2π}{3}}]$,
當(dāng)$x=\frac{π}{12}$時(shí),g(x)min=0;當(dāng)$x=\frac{5}{12}π$時(shí),g(x)max=3,所求值域?yàn)閇0,3].
(2)由已知$\sqrt{3}a=2bsinA$及正弦定理得:$\sqrt{3}sinA=2sinBsinA$,
∴$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,∵$0<B<\frac{π}{2}$,∴$B=\frac{π}{3}$,由$f(A)=\sqrt{2}+1$得$sinA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.
又$a=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}b<b$,∴$A=\frac{π}{4}$,由正弦定理得:$a=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$,
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×\frac{{2\sqrt{6}}}{3}×2×\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}=\frac{{3+\sqrt{3}}}{3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換,y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.
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A. | (-∞,0) | B. | (2,+∞) | C. | (0,2) | D. | (-2,2) |
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