Question

12．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如圖），已知點(diǎn)P在直線BC₁上運(yùn)動(dòng)．則下列四個(gè)命題：
①三棱錐A-D₁BC的體積不變；
②直線AP與平面ACD₁所成的角的大小不變；
③二面角P-AD₁-C的大小不變；
④M是平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)到點(diǎn)D和C₁距離相等的點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡是直線AD₁
其中正確命題的編號(hào)是①③④．（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）

Answer 1

分析 利用體積公式判斷①，利用向量計(jì)算夾角判斷②，根據(jù)二面角的定義判斷③，利用全等判斷④．

解答 解：對(duì)于①，顯然三棱錐A-D₁BC體積與P點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，故①正確；
對(duì)于②，以D₁為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，則$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（1，1，-1）為平面ACD₁的法向量，
而$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（1，-1，-1），
∴cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{D{B}_{1}}$＞=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cos＜$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，$\overrightarrow{D{B}_{1}}$＞=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$，
∴AB，AC₁與平面ACD₁所成的角不相等，即當(dāng)p在直線BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP平面ACD₁所成的角會(huì)發(fā)生變化，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，當(dāng)P位置變化時(shí)，平面PAD₁的位置不發(fā)生變化，故二面角P-AD₁-C的大小不變，故③正確；
對(duì)于④，設(shè)Q為直線A₁D₁上任意一點(diǎn)，則Rt△QDD₁≌Rt△QC₁D₁，
∴QD=QC₁，
∴M的軌跡為直線AD₁，故④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，空間線面位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題．