Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₇=49，5是a₁和a₅的等差中項(xiàng)．
（1）求a_n與S_n
（2）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，有

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

7

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知列式求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和得答案；
（2）由

1

n2

＜

1

(n-1)n

把數(shù)列的項(xiàng)放大，然后利用裂項(xiàng)相消法求和，再放縮得答案．

解答： （1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由S₇=49，5是a₁和a₅的等差中項(xiàng)，得

7a1+ 7×6d 2 =49 a1+a1+4d=10

，解得：

a1=1 d=2

．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，Sn=n+

2n(n-1)

2

=n2；
（2）證明：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

．
當(dāng)n=2時(shí)，

1

S1

+

1

S2

=1+

1

4

=

5

4

＜

7

4

；
當(dāng)n≥3時(shí)，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

5

4

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)n

=

5

4

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=

7

4

-

1

n

＜

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．