(2013•楚雄州模擬)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥面ABC,BC⊥AC,AC=BC=2,AA1=3,D為AC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AB1∥面BDC1;
(Ⅱ)求點(diǎn)A1到面BDC1的距離.
分析:(Ⅰ)直接利用直線與平面平行的判定定理證明AB1∥面BDC1;
(Ⅱ)通過(guò)等體積的方法,求解點(diǎn)A1到面BDC1的距離即可.
解答:解:(Ⅰ)證明:連接B1C,交BC1于點(diǎn)O,則O為B1C
的中點(diǎn),∵D為AC中點(diǎn)∴OD∥A B1
又∵A B1?平面BDC1,OD?平面BDC1
∴A B1∥平面BDC1-----------------------(6分)
(Ⅱ)在直角三角形BDC中過(guò)點(diǎn)C作BD的垂線,垂足為E,連接C1E.
∵AA1⊥平面ABC,AA1∥CC1
∴CC1⊥平面ABC   又∵BD?平面ABC∴CC1⊥BD
∴BD⊥平面C1CE∴BD⊥C1E
在Rt△CBD中,BD=
DC2+CB2
=
5
,CE=
BC•DC
BD
=
2
5

在Rt△C1CE中,C1E=
C1E2+CE2
=
32+
4
5
=
7
5
---------(10分)
V三棱錐B-A1DC1=V三棱錐A1-BDC1
設(shè)點(diǎn)A1到面BDC1的距離為h,則有SC1BD•h=SA1DC1•BC
所以h=
3×2
1
2
×
5
×
7
5
=
12
7
---------(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面平行的判定定理,點(diǎn)到平面的距離的距離的求法,等體積的應(yīng)用,考查邏輯推理能力與計(jì)算能力,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
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