Question

4．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是．（　　）
①若ab＞c²，則$C＜\frac{π}{3}$
②若a+b＞2c，則$C＜\frac{π}{3}$
③若a³+b³=c³，則$C＜\frac{π}{2}$
④若（a+b）c＜2ab，則$C＞\frac{π}{2}$
⑤若（a²+b²）c²＜2a²b²，則$C＞\frac{π}{3}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①利用余弦定理，將c²放大為ab，再結(jié)合均值定理即可證明cosC＞$\frac{1}{2}$，從而證明C＜$\frac{π}{3}$；②；②利用余弦定理，將c²放大為$（\frac{a+b}{2}）^{2}$，再結(jié)合均值定理即可證明cosC＞$\frac{1}{2}$，③利用反證法，假設(shè)C≥$\frac{π}{2}$時(shí)，推出與題設(shè)矛盾，即可證明此命題正確；④⑤，只需舉反例即可證明其為假命題，可舉符合條件的等邊三角形．

解答 解：對(duì)于①，ab＞c²⇒cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}＞\frac{2ab-ab}{2ab}=\frac{1}{2}$，⇒C＜$\frac{π}{3}$，故正確；
對(duì)于②，a+b＞2c⇒cosC═$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}＞\frac{4（{a}^{2}+^{2}）-（a+b）^{2}}{8ab}$≥$\frac{1}{2}$⇒C＜$\frac{π}{3}$，故正確；
對(duì)于③，當(dāng)C$≥\frac{π}{2}$時(shí)，c²≥a²+b²⇒c³≥ca²+cb²＞a³+b³與a³+b³=c³矛盾，故正確；
對(duì)于④，取a=b=2，c=1，滿足（a+b）c＜2ab得：C＜$\frac{π}{3}＜\frac{π}{2}$，故錯(cuò)；
對(duì)于⑤，取a=b=$\sqrt{2}$，c=1，滿足（a²+b²）c²＜2a²b²，此時(shí)有C＜$\frac{π}{3}$，故錯(cuò)誤．
故選：

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了解三角形的知識(shí)，放縮法證明不等式的技巧，反證法和舉反例法證明不等式，有一定的難度，屬中檔題．