Question

在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為2，3，4的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x、y，記ξ=|x-3|+|y-x|．
（I）求隨機(jī)變量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）由題意x，y可能的取值為2、3、4由此可得出，|x-3|≤1，|y-x|≤2，即可得ξ≤3，分析出變量ξ的最大值時(shí)x，y的值，計(jì)算出事件“ξ取得最大值”包含的基本事件種數(shù)，由公式算出概率．
（Ⅱ）ξ的所有 取值為0，1，2，3，分別計(jì)算出ξ取每一個(gè)值時(shí)概率，列出分布列，由公式計(jì)算出數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（I）∵x，y可能的取值為2、3、4，∴|x-3|≤1，|y-x|≤2
∴ξ≤3，且當(dāng)x=2，y=4，或x=4，y=2時(shí)，ξ=3．即事件ξ=3對(duì)應(yīng)的基本事件有兩種       
因此，隨機(jī)變量ξ的最大值為3
∵有放回地抽兩張卡片的所有情況有 3×3=9種，
∴P(ξ=3)=

2

9

．
答：隨機(jī)變量的最大值為3，事件“ξ取得最大值”的概率為

2

9

．
（II） ξ的所有 取值為0，1，2，3．∵ξ=0時(shí)，只有 x=3，y=3這一種情況，ξ=1時(shí)，
有 x=2，y=2或x=3，y=2或x=3，y=4或x=4，y=4四種情況，ξ=3時(shí)，有 x=2，y=3或x=4，y=3兩種情況．
∴P(ξ=0)=

1

9

，P(ξ=1)=

4

9

，P(ξ=2)=

2

9

…（10分）
則隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 9	4 9	2 9	2 9

因此，數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

1

9

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

2

9

=

14

9

．…．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，解題的關(guān)鍵是求出分布列，熟練掌握概率的求法公式是準(zhǔn)確得出分布列的關(guān)鍵，本題知識(shí)性較強(qiáng)，考查到了求概率，求分布列，求期望，是概率中一個(gè)典型題，題后要總結(jié)其解題脈絡(luò)．