Question

已知函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)+2cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求使f（x）≥2的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（I）根據(jù)三角恒等變換公式，化簡(jiǎn)得f（x）=2sin(2x+

π

6

)+1，再由三角函數(shù)的周期公式與單調(diào)區(qū)間的公式加以計(jì)算，可得f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）由（I）化簡(jiǎn)不等式f（x）≥2，得到sin(2x+

π

6

)≥

1

2

，再利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵sin(2x+

π

6

)=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

，
sin(2x-

π

6

)=sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

，cos²x=

1

2

(cos2x+1)
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)+2cos2x
=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

+sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

+cos2x+1
=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1
可得f（x）的最小正周期T=

2π

|ω|

=

2π

2

=π．
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解之得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）由f（x）≥2，得2sin(2x+

π

6

)+1≥2（k∈Z），即sin(2x+

π

6

)≥

1

2

，
根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，可得

π

6

+2kπ≤2x+

π

6

≤

5π

6

+2kπ（k∈Z），
解之得kπ≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
∴使不等式f（x）≥2成立的x取值范圍是{x|kπ≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與周期，并求關(guān)于x的不等式的解集．著重考查了兩角和與差的正弦公式、二倍角的余弦公式與輔助角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．