【題目】橢圓H: +y2=1(a>1),原點O到直線MN的距離為 ,其中點M(0,﹣1),點N(a,0).
(1)求該橢圓H的離心率e;
(2)經(jīng)過橢圓右焦點F2的直線l和該橢圓交于A,B兩點,點C在橢圓上,O為原點, 若 = + ,求直線l的方程.
【答案】
(1)解:直線MN的方程為: + =1,即x﹣ay﹣a=0.∵ = ,解得a= .
又b=1,則 = .
∴該橢圓H的離心率e= = =
(2)解:由(1)可知:橢圓H的標(biāo)準方程為: =1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
∵ = + ,∴C ,由A,B,C都在橢圓上,∴ =3,① =3,② +3 =3,③,由③化簡整理可得: ( )+ ( )+ (x1x2+3y1y2)=3,
把①②代入化簡可得:x1x2+3y1y2=0,④.設(shè)直線l的方程為:x=my+ ,代入橢圓方程可得:(m2+3)y2+2 my﹣1=0,∴y1+y2= ,y1y2= +3,
∴x1x2= =m2y1y2+ m(y1+y2)+2,
∴(m2+3)y1y2+ m(y1+y2)+2=0,
∴(m2+3) + m +2=0,解得m=±1.
∴直線l的方程為x=±y+ .
當(dāng)直線l的斜率為0時,其方程為:y=0,此時A( ,0),B(﹣ ,0),不滿足④,舍去.
綜上可得:直線l的方程為x=±y+
【解析】(1)直線MN的方程為: + =1,即x﹣ay﹣a=0.由 = ,解得a= .利用 ,即可的得出.H的離心率e= .(2)由(1)可知:橢圓H的標(biāo)準方程為: =1,設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2).由 = + ,可得C ,利用A,B,C都在橢圓上整理化簡可得:x1x2+3y1y2=0.設(shè)直線l的方程為:x=my+ ,代入橢圓方程可得:(m2+3)y2+2 my﹣1=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系代入可得m,對直線l的斜率為0時,直接驗證即可.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知中心在原點,焦點在x軸上的雙曲線C的離心率為 ,且雙曲線C與斜率為2的直線l相交,且其中一個交點為P(﹣3,0).
(1)求雙曲線C的方程及它的漸近線方程;
(2)求以直線l與坐標(biāo)軸的交點為焦點的拋物線的標(biāo)準方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知元素為實數(shù)的集合滿足下列條件:①, ;②若,則.
(I)若,求使元素個數(shù)最少的集合;
(II)若非空集合為有限集,則你對集合的元素個數(shù)有何猜測?并請證明你的猜測正確.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l過點P(-1,2)且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積等于.
(1)求直線l的方程.
(2)求圓心在直線l上且經(jīng)過點M(2,1),N(4,-1)的圓的方程.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的定義域;
(Ⅱ)判定f(x)的奇偶性并證明;
(Ⅲ)用函數(shù)單調(diào)性定義證明:f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某上市股票在30天內(nèi)每股的交易價格(元)與時間(天)組成有序?qū)?/span>,點落在右方圖象中的兩條線段上,該股票在30天內(nèi)(包括30天)的日交易量(萬股)與時間(天)的函數(shù)關(guān)系為: , ,
(1)根據(jù)提供的圖象,寫出該種股票每股的交易價格(元)與時間(天)所滿足的函數(shù)關(guān)系式;
(2)用(萬元)表示該股票日交易額,寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求出這30天中第幾天日交易額最大,最大值為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= , ①若f(a)=14,求a的值
②在平面直角坐標(biāo)系中,作出函數(shù)y=f(x)的草圖.(需標(biāo)注函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點處所表示的實數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若方程f(x)=a有四個不同的解x1 , x2 , x3 , x4 , 且x1<x2<x3<x4 , 則x3(x1+x2)+ 的取值范圍是( )
A.(﹣1,+∞)
B.(﹣1,1]
C.(﹣∞,1)
D.[﹣1,1)
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【題目】某中學(xué)為提升學(xué)生的英語學(xué)習(xí)能力,進行了主題分別為“聽”、“說”、“讀”、“寫”四場競賽.規(guī)定:每場競賽的前三名得分分別為, , (,且, , ),選手的最終得分為各場得分之和.最終甲、乙、丙三人包攬了每場競賽的前三名,在四場競賽中,已知甲最終分為分,乙最終得分為分,丙最終得分為分,且乙在“聽”這場競賽中獲得了第一名,則“聽”這場競賽的第三名是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 甲和丙都有可能
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