Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且4an+1﹣anan+1+2an＝9（n∈N*）．

（1）求a2，a3，a4；

（2）由（1）猜想{an}的通項公式an ；

（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明（2）的結(jié)果．

Answer 1

【答案】（1）（2）猜想：

（3）見解析

【解析】

（1）由a1＝1，且4an+1﹣anan+1+2an＝9即可求得a2，a3，a4的值，從而可猜想{an}的通項公式；

（2）由（1）猜得an，

（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，分三步：①當(dāng)n＝1時，猜想成立；②設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N*）時，猜想成立，去證明n＝k+1時猜想也成立（應(yīng)用上歸納假設(shè)），③綜上所述，即可證得猜想成立．

解：（1）由4an+1﹣anan+1+2an＝9得an+12，

∵a1＝1，

∴a2＝2﹣（），

同理可求，a3，a4，

（2）猜想：

（3）證明：①當(dāng)n＝1時，猜想成立．

②設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N*）時，猜想成立，即ak，

則當(dāng)n＝k+1時，有ak+1＝22，

所以當(dāng)n＝k+1時猜想也成立．

綜合①②，猜想對任何n∈N*都成立．