Question

6．已知函數(shù)f（x）=1n（x+a）+$\frac{{x}^{2}}{2（x+a）}$，且曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)垂直直線(xiàn)x+y+1=0．
（1）求a的值及f（x）的極值；
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜x．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)垂直直線(xiàn)x+y+1=0，求出a，即可得出f（x）的極值；
（2）令g（x）=f（x）-x，證明：x＞0時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：∵f（x）=1n（x+a）+$\frac{{x}^{2}}{2（x+a）}$，
∴f′（x）=$\frac{x+2}{2x+2a}$，
∵曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)垂直直線(xiàn)x+y+1=0，
∴f′（0）=$\frac{1}{a}$=1，
∴a=1，
∴f′（x）=$\frac{x+2}{2x+2}$（x+1＞0），
∴x＞-1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)無(wú)極值；
（2）證明：令g（x）=f（x）-x，則g′（x）=$\frac{-x}{2x+2}$，
x＞0時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴g（x）＜g（0）=f（0）=0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值，考查不等式的證明，屬于中檔題．