Question

（2013•虹口區(qū)二模）將邊長為2的正方形沿對(duì)角線AC折起，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積最大值等于

2 2

3

．

Answer 1

分析：如圖所示，設(shè)正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)D折疊后的位置為D'，連接BD'、OD'．利用線面垂直的判定，證出AC⊥平面B'DO，從而得到三棱錐的體積為V_D'-ABC=V_A-BOD'+V_C-BOD'=

1

3

S_△BOD'×AC．因?yàn)锳C=2

2

是定值，所以當(dāng)S_△BOD'達(dá)到最大值時(shí)所求的體積最大．最后根據(jù)正弦定理面積公式和正弦函數(shù)的最值，可得所求三棱錐的體積最大值等于

2 2

3

．

解答：解：如圖所示，設(shè)正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，
點(diǎn)D折疊后的位置為D'，連接BD'，OD'
∵AC⊥BO，AC⊥BO'，BO∩D'O=0
∴AC⊥平面B'DO
因此，三棱錐的體積為
V_D'-ABC=V_A-BOD'+V_C-BOD'
=

1

3

S_△BOD'×AO+

1

3

S_△BOD'×CO=

1

3

S_△BOD'×AC
∵正方形的邊長為2，可得AC=2

2

∴當(dāng)S_△BOD'最大時(shí)，V_D'-ABC達(dá)到最大值．
∵S_△BOD'=

1

2

×

2

×

2

×sin∠BOD′=sin∠BOD′
∴當(dāng)∠BOD'=90°時(shí)，S_△BOD'的最大值為1，從而得到V_D'-ABC的最大值為

1

3

AC=

2 2

3

故答案為：

2 2

3

點(diǎn)評(píng)：本題給出正方形的翻折問題，求折疊后形成的三棱錐的體積最大值，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和面積正弦定理公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．