Question

設(shè){a_n}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，{b_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，記M_n=a_b1+a_b2+…+a_bn，則{M_n}中不超過(guò)2009的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．8

B．9

C．10

D．11

Answer 1

分析：由題設(shè)知a_n=n+1，b_n=2^n-1，所以abn =bn+1=2n-1+1，由M_n=a_b1+a_b2+…+a_bn=a1+a2+ a4+…+a2n-1=2ⁿ+n-1和M_n≤2009，得2ⁿ+n-1≤2009，由此能求出{M_n}中不超過(guò)2009的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．

解答：解：∵{a_n}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=n+1，
∵{b_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=2^n-1，
∴M_n=a_b1+a_b2+…+a_bn
=a1+a2+ a4+…+a2n-1
=（1+1）+（2+1）+（4+1）+…+（2^n-1+1）
=（1+2+4+…+2^n-1）+n
=

1-2n

1-2

+n
=2ⁿ+n-1，
∵M(jìn)_n≤2009，
∴2ⁿ+n-1≤2009，
解得n≤10．
所以，{M_n}中不超過(guò)2009的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為10．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng)，結(jié)合含兩個(gè)變量的不等式的處理問(wèn)題，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．