Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，試求函數(shù)圖像過點的切線方程；

（2）當(dāng)時，若關(guān)于的方程有唯一實數(shù)解，試求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)有兩個極值點，且不等式恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】

試題對于（1），先利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，再寫出點斜式方程；

對于（2），方程可化為：，構(gòu)造，通過研究的單調(diào)性即可求出的范圍.

對于（3），首先根據(jù)有兩個極值點，利用導(dǎo)數(shù)求出的取值范圍以及極值點；將恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，然后構(gòu)建函數(shù)求出的最小值即可.

試題解析：

（1）當(dāng)時，有.

∵，∴，

∴過點的切線方程為：，

即.

（2）當(dāng)時，有，其定義域為：，

從而方程可化為：，

令，則，

由或；.

∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

且，

又當(dāng)時，；當(dāng)時，.

∵關(guān)于的方程有唯一實數(shù)解，

∴實數(shù)的取值范圍是：或.

（3）∵的定義域為：.

令.

又∵函數(shù)有兩個極值點，

∴有兩個不等實數(shù)根，

∴，且，

從而.

由不等式恒成立恒成立，

∵，

令，

∴，當(dāng)時恒成立，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，

故實數(shù)的取值范圍是：.