【題目】已知有窮數(shù)列共有項,且.
(1)若,,,試寫出一個滿足條件的數(shù)列;
(2)若,,求證:數(shù)列為遞增數(shù)列的充要條件是;
(3)若,則所有可能的取值共有多少個?請說明理由.
【答案】(1)、、、、或、、、、;(2)證明見解析;(3).
【解析】
(1)有窮數(shù)列共有項,且,,,,由此能寫出滿足條件的數(shù)列;
(2)若數(shù)列為遞增數(shù)列,由題意得,,,,由此能推導(dǎo)出,由題意得,,,推導(dǎo)出,,,,由,推導(dǎo)出,,,從而數(shù)列是遞增數(shù)列,由此能證明數(shù)列為遞增數(shù)列的充要條件為;
(3)由題意得,,,,推導(dǎo)出的所有可能值與最大值的差必為偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明可以取到與之間相差的所有整數(shù),由此能求出所有可能取值的個數(shù).
(1)有窮數(shù)列共有項,且,,,,
則滿足條件的數(shù)列有:、、、、或、、、、;
(2)①充分性:若數(shù)列為遞增數(shù)列,由題意得:,,,,全加得,;
②必要性:由題意,,,
,,,,
上述不等式全部相加得,,
,所以,不等式,,,均取等號,
所以,,,,則數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列.
綜上所述,數(shù)列為遞增數(shù)列的充要條件是;
(3)由題意得,,,,
假設(shè),其中,
,
則,
則中有項、、、、取負(fù)值,
則有,(*),
的所有可能值與的差必為偶數(shù),
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明可以取到與之間相差的所有整數(shù),
由(*)知,還要從、、、、中任取一項或若干項相加,可以得到從到的所有整數(shù)值即可.
①當(dāng)時,顯然成立;
②當(dāng)時,從、中任取一項或兩項相加,可以得到從、、中任取一項或若干項相加,可以得到從到的所有整數(shù),結(jié)論成立;
③假設(shè)當(dāng)時,結(jié)論成立,即從、、、、中任取一項或若干項相加,可以得到從到的所有整數(shù)值.
則當(dāng)時,由假設(shè),從、、、、中任取一項或若干項相加,可以得到從到的所有整數(shù)值,
用取代、、、、中的,可得,
用取代、、、、中的,可得,
用取代、、、、中的,可得,
將、、、、、全部相加,可得,故命題成立.
因此,所有可能的取值共有個.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種零件的質(zhì)量指標(biāo)值為整數(shù),指標(biāo)值為8時稱為合格品,指標(biāo)值為7或者9時稱為準(zhǔn)合格品,指標(biāo)值為6或10時稱為廢品,某單位擁有一臺制造該零件的機(jī)器,為了了解機(jī)器性能,隨機(jī)抽取了該機(jī)器制造的100個零件,不同的質(zhì)量指標(biāo)值對應(yīng)的零件個數(shù)如下表所示;
質(zhì)量指標(biāo)值 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
零件個數(shù) | 6 | 18 | 60 | 12 | 4 |
使用該機(jī)器制造的一個零件成本為5元,合格品可以以每個元的價格出售給批發(fā)商,準(zhǔn)合格品與廢品無法岀售.
(1)估計該機(jī)器制造零件的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù);
(2)若該單位接到一張訂單,需要該零件2100個,為使此次交易獲利達(dá)到1400元,估計的最小值;
(3)該單位引進(jìn)了一臺加工設(shè)備,每個零件花費(fèi)2元可以被加工一次,加工結(jié)果會等可能出現(xiàn)以下三種情況:①質(zhì)量指標(biāo)值增加1,②質(zhì)量指標(biāo)值不變,③質(zhì)量指標(biāo)值減少1.已知每個零件最多可被加工一次,且該單位計劃將所有準(zhǔn)合格品逐一加工,在(2)的條件下,估計的最小值(精確到0.01) .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若有兩個極值點(diǎn),且恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為.直線和兩條漸近線交于點(diǎn),點(diǎn)在第一象限且,是雙曲線上的任意一點(diǎn).
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在點(diǎn)P使得為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的個數(shù);
(3)直線與直線分別交于點(diǎn),證明:以為直徑的圓必過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象.求證:存在無窮多個互不相同的整數(shù),使得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)直線與軸的交點(diǎn)為,經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),若,求直線的傾斜角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方體的棱長為2,動點(diǎn)在對角線上,過點(diǎn)作垂直于的平面,記平面截正方體得到的截面多邊形(含三角形)的周長為,設(shè).
(1)下列說法中,正確的編號為__________.
①截面多邊形可能為四邊形;②;③函數(shù)的圖象關(guān)于對稱.
(2)當(dāng)時,三棱錐的外接球的表面積為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)為A,且橢圓E經(jīng)過與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與橢圓E交于C,D兩點(diǎn),且直線AC和直線AD的斜率之積為.
(I)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)求證:直線l過定點(diǎn).
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