Question

已知雙曲線與橢圓

x2

27

+

y2

36

=1的焦點(diǎn)相同，且它們一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則雙曲線的虛軸長(zhǎng)為（　　）

• A、

  5

• B、2

  5

• C、

  13

• D、2

  13

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：橢圓

x2

27

+

y2

36

=1，故有焦點(diǎn)為F₁（0，-3），F(xiàn)₂（0，3），由此設(shè)出雙曲線的方程，再由雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求出此點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將此點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，求出參數(shù)即得雙曲線方程，可得雙曲線的虛軸長(zhǎng)．

解答： 解：因?yàn)闄E圓

x2

27

+

y2

36

=1的焦點(diǎn)為F₁（0，-3），F(xiàn)₂（0，3），
故可設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1．
由題設(shè)可知雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，將y=4代入橢圓方程得雙曲線與橢圓的交點(diǎn)為（±

15

，4），
代入雙曲線方程可得

16

a2

-

15

b2

=1，
∵a²+b²=9，
∴a=2，b=

5

∴雙曲線的虛軸長(zhǎng)為2

5

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關(guān)鍵是兩者共同的特征設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題時(shí)要善于抓住問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)．