Question

19．已知曲線C的極坐標方程為ρsinθ+2ρcosθ=20，將曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$后得到C₂
（1）求曲線C₂的參數(shù)方程；
（2）若點M在曲線C₂上運動，試求出M到曲線C的距離d的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）代入$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$后可得曲線C₂的參數(shù)方程．
（2）曲線C的極坐標方程為ρsinθ+2ρcosθ=20，可得直角坐標方程：2x+y-20=0．利用點到直線的距離公式可得M到曲線C的距離d．

解答 解：（1）將曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）代入$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$后得到$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=2cosα}\\{{y}^{′}=3sinα}\end{array}\right.$，
可得曲線C₂的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（2）曲線C的極坐標方程為ρsinθ+2ρcosθ=20，可得直角坐標方程：2x+y-20=0．
∴點M到曲線C的距離d=$\frac{|4cosα+3sinα-20|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（α+φ）-20|}{\sqrt{5}}$（其中cosφ=$\frac{3}{5}$，sinφ=$\frac{4}{5}$）．
∴d∈$[3\sqrt{5}，5\sqrt{5}]$．

點評 本題考查了直角坐標與極坐標的互化、和差公式、坐標變換、三角函數(shù)單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．