Question

四棱錐S-ABCD的底面ABCD是正方形，側棱SC的中點E在底面內的射影恰好是正方形ABCD的中心O，頂點A在截面SBD內的射影恰好是△SBD的重心G．
（1）求直線SO與底面ABCD所成角的正切值；
（2）設AB=a，求此四棱錐過點C，D，G的截面面積．

Answer 1

分析：（1）根據中位線可知SA∥EO，則SA⊥面ABCD，從而∠SOA是SO與面ABCD所成角，連接DG并延長交SB于F．根據線面垂直的判定定理可知SB⊥面FAD，則DF⊥SB，同理可得SO⊥BD，BG⊥SD，從而△SBD是等邊三角形，求出直線SO與底面ABCD所成角的正切值即可；
（2）根據中位線定理可知CD∥AB，根據線面平行的判定定理可知CD∥面SAB，而過CDG的平面交面SAB與FH，則四邊形CDHF是直角梯形，求出DH，即可求出四邊形CDHF的面積．

解答：解：（1）∵O、E分別是AC、SC的中點
∴SA∥EO則SA⊥面ABCD
∴∠SOA是SO與面ABCD所成角
∴SA，AB，AD兩兩相互垂直，連接DG并延長交SB于F．
∵SO是△SBD的中線，∴G點在SO上
∵AD⊥面SAB，AG⊥面SDB
∴AD⊥SB，AG⊥SB
則SB⊥面FAD即DF⊥SB
同理可得SO⊥BD，BG⊥SD
∴G是△SBD的垂心∴△SBD是等邊三角形
∴SA=AB=AD∴tan∠SOA=

2

（2）G 是△SBD的重心，F(xiàn)是SB的中點
∵CD∥AB∴CD∥面SAB而過CDG的平面交面SAB與FH
∴CD⊥面SAD則四邊形CDHF是直角梯形
梯形的高DH=

a2+ 1 4 a2

=

5

2

a
∴S_梯形CDHF=

3 5

8

a2

點評：本題主要考查了直線與平面所成角，以及截面圖形面積的度量，同時考查論證推理能，計算與空間想象能力，屬于中檔題．