已知橢圓方程為,P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)1、F2為橢圓的兩焦點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí),過F1作∠F1PF2的外角平分線的垂線F1M,垂足為M,當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí),定義M與P重合.

(Ⅰ)求M點(diǎn)的軌跡T的方程;

(Ⅱ)已知,試探究是否存在這樣的點(diǎn)是軌跡T內(nèi)部的整點(diǎn)(平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)),且△OEQ的面積?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

 

【答案】

解:(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí),延長(zhǎng)F1M與F2P的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N,連結(jié)OM,

,  ∴ ∴M是線段的中點(diǎn),|,

= ==

∵點(diǎn)P在橢圓上

    ∴=4,

當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí),M與P重合

∴M點(diǎn)的軌跡T的方程為:

(Ⅱ)連結(jié)OE,易知軌跡T上有兩個(gè)點(diǎn)

A,B滿足,

分別過A、B作直線OE的兩條平行線、.

∵同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等

∴符合條件的點(diǎn)均在直線、上.

   ∴直線、的方程分別為:

設(shè)點(diǎn) )∵在軌跡T內(nèi),∴

分別解,得

為偶數(shù),在對(duì)應(yīng)的

,對(duì)應(yīng)的

∴滿足條件的點(diǎn)存在,共有6個(gè),它們的坐標(biāo)分別為:

【解析】略

 

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已知橢圓方程為,P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)1、F2為橢圓的兩焦點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí),過F1作∠F1PF2的外角平分線的垂線F1M,垂足為M,當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí),定義M與P重合.

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(Ⅱ)已知,試探究是否存在這樣的點(diǎn)是軌跡T內(nèi)部的整點(diǎn)(平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)),且△OEQ的面積?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

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(本小題滿分12分)

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