Question

已知(

3	x

-

3

3 x

)n的展開式中，第六項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)
（1）求n   
（2）求含x²的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 
（3）求展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和．

Answer 1

分析：（1）由題意(

3	x

-

3

3 x

)n的展開式中，第六項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，即弟六項(xiàng)x的系數(shù)為0，寫出展開式的第六項(xiàng)，令其指數(shù)為0，解出n的值；
（2）寫出其展開式Tk+1=

C

10 k

(

3	x

)10-k(

3

3 x

)k=

C

10 k

3k(x)

10

3

-

2

3

k，令x的指數(shù)為2，求得k的值，即得出含x²的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；
（3）令x=1，得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為（1-3）¹⁰．

解答：解：（1）∵T6=

C

5 n

(

3	x

)n-5(

3

3 x

)5=

C

5 n

35(x)

1

3

n-

5

3

(x)-

5

3

=

C

5 n

35(x)

1

3

n-

10

3

由已知

1

3

n-

10

3

=0，所以n=10；
（2）∵Tk+1=

C

k 10

(

3	x

)10-k(

3

3 x

)k=

C

k 10

3k(x)

10

3

-

2

3

k
令

10

3

-

2

3

k=2，解得k=2，所以含x²的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C₁₀²=45
（3）令x=1，得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為（1-3）¹⁰=（-2）¹⁰=2¹⁰

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，對二項(xiàng)式的項(xiàng)的形式記憶準(zhǔn)確，本題第三小問求各項(xiàng)的系數(shù)，這是一個易混點(diǎn)，易把項(xiàng)的系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和混為一個，注意區(qū)分概念，掌握正確的結(jié)論