Question

已知點(diǎn)P是曲線C：y=

1

x

（x＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P的曲線C的切線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則三角形AOB的面積是（　�。�

• A、定值1
• B、定值2
• C、定值4
• D、隨點(diǎn)P的位置變化而變化

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：設(shè)出切點(diǎn)P（m，n），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，寫出切線方程，分別令x=0，y=0求出A，B的坐標(biāo)，從而求出三角形AOB的面積．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），則n=

1

m

，
又y=

1

x

的導(dǎo)數(shù)為y′=-

1

x2

，則過點(diǎn)P的曲線C的切線斜率為-

1

m2

，
∴切線方程為：y-

1

m

=-

1

m2

（x-m）即y=-

1

m2

x+

2

m

，
令x=0，則y=

2

m

，令y=0，則x=2m，即A（2m，0），B（0，

2

m

），
由于m＞0，故三角形AOB的面積是

1

2

×2m×

2

m

=2．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求切線方程，同時(shí)考查基本的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題．