【答案】
分析:A.連接BC,設(shè)AB,CD相交于點(diǎn)E,AE=x,由AB是線段CD的垂直平分線,知AB是圓的直徑,∠ACB=90°,則EB=6-x,
.由射影定理得x(6-x)=5,由此能求出線段落AC的長(zhǎng)度.
B.設(shè)矩陣
,這里a,b,c,d∈R,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185015155172559/SYS201310241850151551725020_DA/2.png">是矩陣A的屬于λ
1=1的特征向量,所以
,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185015155172559/SYS201310241850151551725020_DA/4.png">是矩陣A的屬于λ
2=2的特征向量,所以
,由此能求出矩陣A.
C.由
得
,兩式平方后相加得x
2+(y-1)
2=1,所以曲線C是以(0,1)為圓心,半徑等于1的圓.由此能求出曲線C的極坐標(biāo)方程.
D.(1)當(dāng)a=1時(shí),得2|x-1|≥1,由此能求出不等式的解集.
(2)由|ax-1|+|ax-a|≥|a-1|,知原不等式解集為R等價(jià)于|a-1|≥1.由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:A.(選修4-l:幾何證明選講)
連接BC設(shè)AB,CD相交于點(diǎn)E,AE=x,
∵AB是線段CD的垂直平分線,
∴AB是圓的直徑,∠ACB=90°(2分)
則EB=6-x,
.由射影定理得CE
2=AE•EB,
即有x(6-x)=5,解得x=1(舍)或x=5(8分)
∴AC
2=AE•AB=5×6=30,即
.(10分)
B.(選修4-2:矩陣與變換)
設(shè)矩陣
,這里a,b,c,d∈R,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185015155172559/SYS201310241850151551725020_DA/11.png">是矩陣A的屬于λ
1=1的特征向量,
則有
①,(4分)
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185015155172559/SYS201310241850151551725020_DA/13.png">是矩陣A的屬于λ
2=2的特征向量,
則有
②,(6分)
根據(jù)①②,則有
(8分)
從而a=2,b=-1,c=0,d=1,
因此
,(10分)
C.(選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)
由
得
,
兩式平方后相加得x
2+(y-1)
2=1,(4分)
∴曲線C是以(0,1)為圓心,半徑等于1的圓
令x=ρcosθ,y=ρsinθ,
代入并整理得ρ=2sinθ.即曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2sinθ. (10分)
D.(選修4-5:不等式選講)
(1)當(dāng)a=1時(shí),得2|x-1|≥1,即
,
解得
,
∴不等式的解集為
. (5分)
(2)∵|ax-1|+|ax-a|≥|a-1|,
∴原不等式解集為R等價(jià)于|a-1|≥1.
∴a-1≥1,或a-1≤-1.
∴a≥2,或a≤0.
∵a>0,∴a≥2.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2,+∞). (10分)
點(diǎn)評(píng):A.本題考查線段長(zhǎng)度的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意圓的性質(zhì)的靈活運(yùn)用.
B.本題考查矩陣與變換的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意特征方程和特征值的合理運(yùn)用.
C.本題考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意把極坐標(biāo)方程恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化為普通方程.
D.本題考查不等式的解法和求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意含絕對(duì)值不等式性質(zhì)的合理運(yùn)用.