Question

設(shè)y=f（x）是二次函數(shù)，方程f（x）=0有兩個相等的實根，且f′（x）=2x+2．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）求由曲線y=f（x）、直線x=-1、直線x=0以及直線y=0圍成的曲邊梯形面
（Ⅲ）求由曲線段y=f（x）（0≤x≤1）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),導(dǎo)數(shù)的運算,定積分,定積分的簡單應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用判別式為0，以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出a、b、c，即可求f（x）的表達式；
（Ⅱ）直接利用定積分求解由曲線y=f（x）、直線x=-1、直線x=0以及直線y=0圍成的曲邊梯形面
（Ⅲ）通過定積分求由曲線段y=f（x）（0≤x≤1）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．

解答： （本小題滿分9分）
解：（I）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，
∴f′（x）=2ax+b，
又f′（x）=2x+2，∴a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x+c=0，
又方程f（x）=x²+2x+c=0有兩個相等的實根，
∴△=0，解得c=1，
∴f（x）=x²+2x+1…（3分）
（II）設(shè)由曲線y=f（x）、直線x=-1、直線x=0及直線y=0圍成的曲邊梯形面積為S，
則S=

∫

0 -1

(x+)2dx=

1

3

(x+1

)3|

0 -1

=

1

3

…（6分）
（III）設(shè)由曲線段y=f（x）（0≤x≤1）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V，
則V=π

∫

1 0

(x+1)4dx=π×

π

5

(x+1)5

|

1 0

=

31π

5

…（9分）．

點評：本題考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及定積分的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．