Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l1的參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)），直線(xiàn)l2的參數(shù)方程為 ，（m為參數(shù)）．設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線(xiàn)C．
（Ⅰ）寫(xiě)出C的普通方程；
（Ⅱ）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵直線(xiàn)l1的參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)），
∴消掉參數(shù)t得：直線(xiàn)l1的普通方程為：y=k（x﹣2）①；
又直線(xiàn)l2的參數(shù)方程為 ，（m為參數(shù)），
同理可得，直線(xiàn)l2的普通方程為：x=﹣2+ky②；
聯(lián)立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程為x2﹣y2=4；
（Ⅱ）∵l3的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，
∴其普通方程為：x+y﹣ =0，
聯(lián)立 得： ，
∴ρ2=x2+y2= + =5．
∴l(xiāng)3與C的交點(diǎn)M的極徑為ρ= ．
【解析】解：（Ⅰ）分別消掉參數(shù)t與m可得直線(xiàn)l1與直線(xiàn)l2的普通方程為y=k（x﹣2）①與x=﹣2+ky②；聯(lián)立①②，消去k可得C的普通方程為x2﹣y2=4；
（Ⅱ）將l3的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0化為普通方程：x+y﹣ =0，再與曲線(xiàn)C的方程聯(lián)立，可得 ，即可求得l3與C的交點(diǎn)M的極徑為ρ= ．
【考點(diǎn)精析】利用極坐標(biāo)系和直線(xiàn)的參數(shù)方程對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線(xiàn)OX叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系；經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線(xiàn)的參數(shù)方程可表示為（為參數(shù)）．