Question

16．如圖，棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為線段A₁B上的動點，則下列結(jié)論正確的序號是①②④．
①DC₁⊥D₁P
②平面D₁A₁P⊥平面A₁AP
③∠APD₁的最大值為90°
④AP+PD₁的最小值為$\sqrt{2+\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 對于①，利用線面垂直的判定定理可證DC₁⊥面A₁BCD₁，而D₁P?平面D₁DCC₁，故可判斷①正確；
對于②，D₁A₁⊥平面A₁ABB₁，而平面A₁ABB₁，就是平面A₁AP，故平面D₁A₁P⊥平面A₁AP，從而可判定②正確；
對于③，當0＜A₁P＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，∠APD₁為鈍角，故可判斷③錯誤；
對于④，將面AA₁B與面A₁BCD₁沿A₁B展成平面圖形，線段AD₁即為AP+PD₁的最小值，通過解三角形AA₁D₁可求得AD₁=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$，可判斷④正確．

解答 解：對于①，∵A₁D₁⊥平面D₁DCC₁，DC₁?平面D₁DCC₁，∴A₁D₁⊥DC₁，又A₁B⊥DC₁，A₁D₁∩A₁B=A₁，
∴DC₁⊥面A₁BCD₁，D₁P?平面D₁DCC₁，
∴DC₁⊥D₁P，故①正確
對于②，∵平面D₁A₁P即為平面D₁A₁BC，平面A₁AP 即為平面A₁ABB₁，
且D₁A₁⊥平面A₁ABB₁，
∴平面D₁A₁BC⊥平面A₁ABB₁，
∴平面D₁A₁P⊥平面A₁AP，故②正確；
 對于③，在△D₁AP中，由余弦定理可知，當0＜A₁P＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，∠APD₁為鈍角，故③錯誤；
對于④，將面AA₁B與面A₁BCD₁沿A₁B展成平面圖形，線段AD₁即為AP+PD₁的最小值，

在△AA₁D₁中，利用余弦定理解三角形得AD₁=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$，故④正確．
故答案為：①②④．

點評 本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查線面垂直的判定與性質(zhì)、面面垂直的判定，考查余弦定理的應(yīng)用，屬于難題．