Question

以點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點的橢圓C經(jīng)過點（1，

3

2

）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過P點分別以k₁、-k₁、k₂、-k₂（k₁k₂≠0，k₁≠k₂）為斜率的直線分別交橢圓C于A，B，M，N，求證：?λ∈R，使得

AB

=λ

MN

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點的橢圓C經(jīng)過點（1，

3

2

），利用待定系數(shù)法，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）由題意可知，將PA：y-

3

2

=k₁（x-1），代入橢圓方程，求出AB的斜率，同理求出MN的斜率，即可得出結論．

解答： （Ⅰ）解：設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則
∵點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點的橢圓C經(jīng)過點（1，

3

2

），
∴

c=1 1 a2 + 9 4 b2 =1

，
∴a=2，b=

3

，c=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）證明：由題意可知PA：y-

3

2

=k₁（x-1），
代入橢圓方程可得（3+4k₁²）x²+4（-2k₁²+3k₁）x+4k₁²-12k₁-3=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁=

4k12-12k1-3

3+4k12

，
用-k₁代k₁，可得x₂=

4k12+12k1-3

3+4k12

，
∴x₁+x₂=

8k12-6

3+4k12

，x₁-x₂=

-24k1

3+4k12

，
∴k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

k1(x1+x2)-2k1

x1-x2

=

1

2

．
同理k_MN=

1

2

，
∴?λ∈R，使得

AB

=λ

MN

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查斜率的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．