【題目】已知函數(shù) .
(Ⅰ)當(dāng)時,求的圖象在處的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個不同零點(diǎn), ,且,求證: ,其中是的導(dǎo)函數(shù).
【答案】(Ⅰ)y=2x-1;(Ⅱ)證明見解析.
【解析】試題分析:(I)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出的圖象在處的切線方程;(Ⅱ)由于的圖象與軸交于兩個不同的點(diǎn), ,可得方程的兩個根為, ,得到,可得,經(jīng)過變形只要證明,通過換元再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出.
試題解析:(Ⅰ)當(dāng)時, , ,切點(diǎn)坐標(biāo)為,切線的斜率,∴切線方程為,即.
(Ⅱ)∵的圖象與軸交于兩個不同的點(diǎn), ,∴方程的兩個根為, ,則,兩式相減得,又, ,則,下證(*),即證明,令,∵,∴,即證明在上恒成立,∵,又,∴,∴在上是增函數(shù),則,從而知,故(*)式,即成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面是平行四邊形,.
(1)求證:平面平面;
(2)若,為的中點(diǎn),為棱上的點(diǎn),平面,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,過且垂直于軸的焦點(diǎn)弦的弦長為,過的直線交橢圓于,兩點(diǎn),且的周長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線,互相垂直,直線過且與橢圓交于點(diǎn),兩點(diǎn),直線過且與橢圓交于,兩點(diǎn).求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 的部分圖象如圖所示。
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設(shè),且方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍和這兩個根的和
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知甲同學(xué)每投籃一次,投進(jìn)的概率均為.
(1)求甲同學(xué)投籃4次,恰有3次投進(jìn)的概率;
(2)甲同學(xué)玩一個投籃游戲,其規(guī)則如下:最多投籃6次,連續(xù)2次不中則游戲終止.設(shè)甲同學(xué)在一次游戲中投籃的次數(shù)為,求的分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分14分)
已知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷,定義:
,
.
其中,表示函數(shù)在上的最小值,表示函數(shù)在上的最大值.若存在最小正整數(shù),使得對任意的成立,則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”.
(Ⅰ)若,,試寫出,的表達(dá)式;
(Ⅱ)已知函數(shù),,試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”,如果是,求出對應(yīng)的;如果不是,請說明理由;
(Ⅲ)已知,函數(shù)是上的2階收縮函數(shù),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.滿足2acosC+bcosC+ccosB=0.
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若a=2,△ABC的面積為,求C的大小。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,,.
(Ⅰ)若,求的極值;
(Ⅱ)若函數(shù)的兩個零點(diǎn)為,記,證明:.
【答案】(Ⅰ)極大值為,無極小值;(Ⅱ)證明見解析.
【解析】分析:(Ⅰ)先判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,然后可得當(dāng)時,有極大值,無極小值.(Ⅱ)不妨設(shè),由題意可得,即,又由條件得,構(gòu)造,令,則,利用導(dǎo)數(shù)可得,故得,又,所以.
詳解:(Ⅰ),
,
由得,
且當(dāng)時,,即在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時,,即在上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)時,有極大值,且,無極小值.
(Ⅱ)函數(shù)的兩個零點(diǎn)為,不妨設(shè),
,.
,
即,
又,,
,
.
令,則
,
在上單調(diào)遞減,
故,
,
即,
又,
.
點(diǎn)睛:(1)研究方程根的情況,可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大(。┲、函數(shù)的變化趨勢等,根據(jù)題目要求,畫出函數(shù)圖象的大體圖象,然后通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題,可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn).
(2)證明不等式時常采取構(gòu)造函數(shù)的方法,然后通過判斷函數(shù)的單調(diào)性,借助函數(shù)的最值進(jìn)行證明.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為:.
(Ⅰ)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn),若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校在學(xué)年期末舉行“我最喜歡的文化課”評選活動,投票規(guī)則是一人一票,高一(1)班44名學(xué)生和高一(7)班45名學(xué)生的投票結(jié)果如下表(無廢票):
語文 | 數(shù)學(xué) | 外語 | 物理 | 化學(xué) | 生物 | 政治 | 歷史 | 地理 | |
高一(1)班 | 6 | 9 | 7 | 5 | 4 | 5 | 3 | 3 | 2 |
高一(7)班 | 6 | 4 | 5 | 6 | 5 | 2 | 3 |
該校把上表的數(shù)據(jù)作為樣本,把兩個班同一學(xué)科的得票之和定義為該年級該學(xué)科的“好感指數(shù)”.
(Ⅰ)如果數(shù)學(xué)學(xué)科的“好感指數(shù)”比高一年級其他文化課都高,求的所有取值;
(Ⅱ)從高一(1)班投票給政治、歷史、地理的學(xué)生中任意選取位同學(xué),設(shè)隨機(jī)變量為投票給地理學(xué)科的人數(shù),求的分布列和期望;
(Ⅲ)當(dāng)為何值時,高一年級的語文、數(shù)學(xué)、外語三科的“好感指數(shù)”的方差最小?(結(jié)論不要求證明)
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