Question

已知點(diǎn)（x，y）是區(qū)域，（n∈N^*）內(nèi)的點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)z=x+y，z的最大值記作z_n．若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且點(diǎn)（S_n，a_n）在直線z_n=x+y上．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n-2}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知當(dāng)直線過點(diǎn)（2n，0）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故z_n=2n，利用（S_n，a_n）在直線z_n=x+y上，可得S_n+a_n=2n，再寫一式，兩式相減，化簡可得數(shù)列{a_n-2}以-1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）確定數(shù)列的通項(xiàng)，再分組求和，即可得到結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：由已知當(dāng)直線過點(diǎn)（2n，0）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故z_n=2n
∴方程為x+y=2n
∵（S_n，a_n）在直線z_n=x+y上，∴S_n+a_n=2n①
∴S_n-1+a_n-1=2（n-1），n≥2②
由①-②得，2a_n-a_n-1=2，n≥2∴2a_n=a_n-1+2，n≥2，
∴2（a_n-2）=a_n-1-2，n≥2
∵a₁-2=-1，
∴數(shù)列{a_n-2}以-1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，∴
∵S_n+a_n=2n，
∴
∴

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點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和，確定數(shù)列是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)是關(guān)鍵．