Question

如圖1，在平面內(nèi)，ABCD邊長(zhǎng)為2的正方形，ADD″A₁和CDD″C₁都是正方形．將兩個(gè)正方形分別沿AD，CD折起，使D″與D′重合于點(diǎn)D₁．設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)B且垂直于正方形ABCD所在的平面，點(diǎn)E是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)D₁位于平面ABCD同側(cè)，設(shè)BE=t（t＞0）（圖2）．
（1）設(shè)二面角E-AC-D₁的大小為θ，當(dāng)t=2時(shí)，求θ的余弦值；
（2）當(dāng)t＞2時(shí)在線段D₁E上是否存在點(diǎn)P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，若存在，求出P分所成的比λ；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先找到二面角E-AC-D₁的平面角，由余弦定理，求出平面角的余弦值，即可．
（2）先假設(shè)存在點(diǎn)P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，建立空間直角坐標(biāo)系，找到平面ACE的法向量，根據(jù)P分所成的比為λ，得=，計(jì)算出λ的值，若能算出，則存在，若計(jì)算不出，則不存在．
解答：解：（1）連接DB交AC于點(diǎn)O，連接DO，EO，在△ADC中，DO⊥AC，
同理可證，EO⊥AC
∴∠D₁OE為所求二面角的平面角θ
在△ADC中，∵AD₁=CD₁=AC=2，∴OD₁=
同理可得，OE=，又∵D₁E=2
∴在△D₁OE中，由余弦定理得，cosθ=
（2）設(shè)以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．BE=t
則，D（0，0，0），A（2，0，0），C（2，2，0），A1（2，0，2），D1（0，0，2），C1（0，2，2），E（2，2，t0
假設(shè)粗在滿足題意的點(diǎn)P（x，y，z）
∵P分所成的比為λ，∴=?（x，y，z）=λ（2-x，2-y，t-z）
解得，x=，y=，z=
P（，，）
∴=（，，）
設(shè)平面ACE的法向量=（x，y，z）
=（-2，2，0），=（0，-2，-t）
?-2x+2y=0，?-2y-ty=0
⇒
令x0=y0=t，則，z0=-2，∴=（t，t，-2）
平面PA₁C₁∥平面EAC，得PA₁∥平面EAC
∴?--=0⇒λ=
∴在線段D₁E上是存在點(diǎn)P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，P分所成的比λ=（t＞2）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二面角的平面角的求法，以及用空間向量判斷立體幾何位置關(guān)系．