Question

【題目】如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)A′在x軸上，且關(guān)于y軸對(duì)稱，過點(diǎn)A′垂直于x軸的直線與拋物線y2=2x交于兩點(diǎn)B，C，點(diǎn)D為線段AB 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AC上，滿足 ．

（1）求證：直線DE與此拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（2）設(shè)直線DE與此拋物線的公共點(diǎn)F，記△BCF與△ADE的面積分別為S1、S2 ， 求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)A（﹣2a2，0），A′（2a2，0），則B（2a2，2a），C（2a2，﹣2a），

設(shè)D（x1，y1）， =λ ， =λ ，

∴（x1+2a2，y1）=λ（4a2，2a），故D的坐標(biāo)（（4λ﹣2）a2，2λa），

設(shè)E（x2，y2），由 =λ ，則（x2﹣2a2，y2+2a）=λ（﹣4a2，2a），

∴E（（2﹣4λ）a2，（2λ﹣2）a），

∴直線DE的斜率為kDE= = ，

直線DE的方程：y﹣2λa= [x﹣（2﹣4λ）a2]，

整理得：（4λ﹣2）ay﹣2λa（4λ﹣2）a=x﹣（4λ﹣2）a2，即x=2a（2λ﹣1）y﹣2a2（2λ﹣1）2，①

代入拋物線方程，y2=2[2a（2λ﹣1）y﹣2a2（2λ﹣1）2]，

整理得：y2﹣4a（2λ﹣1）y+4a2（2λ﹣1）2=0，②

此時(shí)方程②的兩個(gè)根相等，y=2a（2λ﹣1），

代入①，整理得x=2a2（2λ﹣1）2，

∴直線DE與此拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)F（2a2（2λ﹣1）2，2a（2λ﹣1））；

（2）解：由S1= ×丨BC丨×h= ×4a×（2a2﹣xF）=4a3（4λ﹣4λ2），

設(shè)直線DE與x軸交于點(diǎn)G，令y=0，代入方程①，x=2a（2λ﹣1）y﹣2a2（2λ﹣1）2，解得：x=2a2（2λ﹣1）2，

故丨AG丨=2a2﹣2a2（2λ﹣1）2=2a2（4λ﹣4λ2），

S2=S△ADG+S△AEG= ×丨AG丨×丨yD﹣yE丨=a2（4λ﹣4λ2）丨2λa﹣（2λ﹣2）a丨=2a3（4λ﹣4λ2），

∴ =2，

∴ 的值2．

【解析】（1）設(shè)A及B，C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相似關(guān)系，設(shè) =λ ， =λ ，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得D及E點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線DE的方程，將直線方程代入拋物線方程，有且僅有一個(gè)解，則直線DE與此拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）根據(jù)三角形的面積公式，求得S1，令y=0，求得G點(diǎn)坐標(biāo)及丨AG丨，則S2=S△ADG+S△AEG= ×丨AG丨×丨yD﹣yE丨=2a3（4λ﹣4λ2），即可求得 的值．