Question

20．設(shè)雙曲線Γ：x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的左右兩個焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，A為雙曲線Γ的左頂點(diǎn)，直線l過右焦點(diǎn)F₂且與雙曲線Γ交于M，N兩點(diǎn)，若AM，AN的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=-$\frac{1}{2}$，則直線l的方程為y=-8（x-3）．．

Answer 1

分析 設(shè)出直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及k₁+k₂=2，求直線l的斜率，即可求出直線l的方程．

解答 解：設(shè)直線方程為l：y=k（x-3），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
聯(lián)立方程組得（8-8k²）x²+6k²x-9k²-8=0
∴x₁+x₂=-$\frac{6{k}^{2}}{8-8{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-9{k}^{2}-8}{8-8{k}^{2}}$
∴k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{1}+1}$=$\frac{2k（{x}_{1}{x}_{2}-{x}_{2}-{x}_{1}-3）}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}{+x}_{2}+1}$=-$\frac{1}{2}$，
代入解得k=-8，
∴直線l的方程是y=-8（x-3）．
故答案為y=-8（x-3）．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．