Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x+a|+|x-b|+|x+b|-c，若存在正常數(shù)m，使f（m）=0，則不等式f（x）＜f（m）的解集是    ．

Answer 1

【答案】分析：由于利用絕對值的性質(zhì)可得f（x）≥2|a|+2|b|-c，存在正常數(shù)m，使f（m）=0，故2|a|+2|b|-c＜0．畫出函數(shù)f（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合可得不等式f（x）＜f（m）的解集．
解答：解：因為f（-x）=|x-a|+|x+a|+|x-b|+|x+b|-c=f（x），故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于y軸對稱．
又因為f（x）=|x-a|+|x+a|+|x-b|+|x+b|-c=|a-x|+|x+a|+|b-x|+|x+b|-c≥2|a|+2|b|-c，
由于存在正常數(shù)m，使f（m）=0，故2|a|+2|b|-c＜0．（否則，當(dāng)2|a|+2|b|-c≥0時，不在正常數(shù)m，使f（m）=0）．
不妨設(shè)0＜a＜b，
①當(dāng)-a≤x≤a時，f（x）=2|a|+2|b|-c=2a+2b-c，
②當(dāng)b＞x＞a  時，f（x）=2x+2b-c，
③當(dāng)x＞b時，f（x）=4x-c，
再根據(jù)此函數(shù)為偶函數(shù)，預(yù)想關(guān)于y軸對稱，畫出函數(shù)f（x）在R上的圖象，如圖所示：
數(shù)形結(jié)合可得不等式f（x）＜f（m）的解集是（-m，m），
故答案為 （-m，m ）．

點評：本題考查絕對值的意義，利用偶函數(shù)的圖象的對稱性、單調(diào)性解絕對值不等式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，
屬于中檔題．