Question

9．設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓 $C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過F₁的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若△F₂AB是面積為$4\sqrt{3}$的等邊三角形，則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

Answer 1

分析 由題設(shè)條件知列出a，b，c的方程，結(jié)合三角形的面積，求出a，b求出橢圓的方程．

解答 解：F₁，F(xiàn)₂為橢圓 $C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過F₁的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若△F₂AB是面積為$4\sqrt{3}$的等邊三角形，
可得：$\frac{^{2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}×2c$，$\frac{1}{2}$×$2c×\frac{^{2}}{a}$=4$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，解得a²=18，b²=12，c²=6．
所求的橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運(yùn)用．