Question

10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且bcosA，ccosA．a(chǎn)cosB成等差數(shù)列．
（1）求角A；
（2）若△ABC的面積為$\sqrt{3}$，a=2，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意和等差中項的性質(zhì)列出方程，由正弦定理、兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出A的值；
（2）根據(jù)題意、三角形的面積公式和余弦定理列出方程，聯(lián)立后求出b、c的值，可判斷出△ABC的形狀．

解答 解：（1）∵bcosA，ccosA、acosB成等差數(shù)列，
∴2ccosA=bcosA+acosB，
在△ABC中，由正弦定理得，2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB，
∴2sinCcosA=sin（A+B），
由sinC=sin（A+B）≠0得，cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵△ABC的面積為$\sqrt{3}$，且A=$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}$，化簡得bc=4，①
又a=2，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
化簡得，b²+c²=8，②
聯(lián)立①②得，b=c=2，
又A=$\frac{π}{3}$，∴△ABC是等邊三角形．

點評 本題考查了正弦定理、余弦定理，兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式，三角形的面積公式，以及等差中項的性質(zhì)，考查方程思想，化簡、變形能力，注意內(nèi)角的范圍．