Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，AF∥BE，AB⊥BE，AB＝BE＝2，AF＝1.

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）求證：AC∥平面DEF；

（Ⅲ）求三棱錐A—DEF的體積.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ) .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由面面垂直的性質可得BE⊥平面ABCD，BE⊥AC，且AC⊥BD.結合線面垂直的判斷定理有AC⊥平面BDE.

（Ⅱ）設AC∩BD＝O，很明顯O為BD中點，設G為DE的中點，連結OG，FG，結合幾何關系可證得四邊形AOGF為平行四邊形，故AC∥FG，由線面平行的判斷定理可得AC∥平面DEF.

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BE⊥平面ABCD，則AF⊥AD.又AB⊥AD，故AD⊥平面ABEF，轉化頂點有： .

試題解析：

（Ⅰ）因為平面ABCD⊥平面ABEF，

平面ABCD∩平面ABEF＝AB，且AB⊥BE，所以BE⊥平面ABCD，

因為平面ABCD，所以BE⊥AC，

又因為四邊形ABCD為正方形，所以AC⊥BD.

因為BD∩BE＝B，所以AC⊥平面BDE.

（Ⅱ）設AC∩BD＝O，

因為四邊形ABCD為正方形，

所以O為BD中點，

設G為DE的中點，連結OG，FG，

則OG∥BE，且，

由已知AF∥BE，且，

則AF∥OG，且AF＝OG.

所以四邊形AOGF為平行四邊形，

所以AO∥FG，即AC∥FG，

因為平面DEF， 平面DEF，

所以AC∥平面DEF.

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BE⊥平面ABCD，

因為AF∥BE，所以AF⊥平面ABCD，

所以AF⊥AB，AF⊥AD.

又因為四邊形ABCD為正方形，所以AB⊥AD，

所以AD⊥平面ABEF，

因為AB＝AD＝2AF＝2，

所以

，

故三棱錐的體積為.