Question

【題目】對于數(shù)列 ， ， ， ，若滿足 ，則稱數(shù)列 為“ 數(shù)列”．
若存在一個正整數(shù) ，若數(shù)列 中存在連續(xù)的 項和該數(shù)列中另一個連續(xù)的 項恰好按次序?qū)��?yīng)相等，則稱數(shù)列 是“ 階可重復(fù)數(shù)列”，
例如數(shù)列 因為 ， ， ， 與 ， ， ， 按次序?qū)��?yīng)相等，所以數(shù)列 是“ 階可重復(fù)數(shù)列”．
（I）分別判斷下列數(shù)列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．是否是“ 階可重復(fù)數(shù)列”？如果是，請寫出重復(fù)的這 項；
（II）若項數(shù)為 的數(shù)列 一定是 “ 階可重復(fù)數(shù)列”，則 的最小值是多少？說明理由；
（III）假設(shè)數(shù)列 不是“ 階可重復(fù)數(shù)列”，若在其最后一項 后再添加一項 或 ，均可 使新數(shù)列是“ 階可重復(fù)數(shù)列”，且 ，求數(shù)列 的最后一項 的值．

Answer 1

【答案】解：（I）

（Ⅱ）因為數(shù)列 的每一項只可以是 或 ，所以連續(xù) 項共有 種不同的情形．

若 ，則數(shù)列 中有 組連續(xù) 項，則這其中至少有兩組按次序?qū)��?yīng)相等，即項數(shù)為 的數(shù)列 一定是“ 階可重復(fù)數(shù)列”；

若 ，數(shù)列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 不是“ 階可重復(fù)數(shù)列”；則 時，均存在不是“ 階可重復(fù)數(shù)列”的數(shù)列 ．

所以要使數(shù)列 一定是“ 階可重復(fù)數(shù)列”，則 的最小值是 ．

（III）由于數(shù)列 在其最后一項 后再添加一項 或 ，均可使新數(shù)列是“ 階可重復(fù)數(shù)列”，即在數(shù)列 的末項 后再添加一項 或 ，

則存在 ，使得 ， ， ， ， 與 ， ， ， ， 按次序?qū)��?yīng)相等，或 ， ， ， ， 與 ， ， ， ， 按次序?qū)��?yīng)相等，如果 ， ， ， 與 ， ， ， 不能按次序?qū)��?yīng)相等，

那么必有 ， ， ，使得 ， ， ， 、 ， ， ， 與 ， ， ， 按次序?qū)��?yīng)相等．

此時考慮 ， 和 ，其中必有兩個相同，這就導(dǎo)致數(shù)列 中有兩個連續(xù)的五項恰按次序?qū)��?yīng)相等，從而數(shù)列 是“ 階可重復(fù)數(shù)列”，這和題設(shè)中數(shù)列 不是“ 階可重復(fù)數(shù)列”矛盾！

所以 ， ， ， 與 ， ， ， 按次序?qū)��?yīng)相等，從而

【解析】(1)由題意觀察可得該數(shù)列是5階可重復(fù)數(shù)列。(2)根據(jù)題意列驗證舉即可得出數(shù)列 { an } 一定是“ 3 階可重復(fù)數(shù)列”，則 m 的最小值是 11。(3)根據(jù)題意利用假設(shè)法結(jié)合已知推導(dǎo)出數(shù)列 { an } 是“ 5 階可重復(fù)數(shù)列”，這和題設(shè)中數(shù)列 { an } 不是“ 5 階可重復(fù)數(shù)列”矛盾進(jìn)而得出假設(shè)不成立即得結(jié)果。