Question

數(shù)列{a_n}中a₁=2，an+1=

1

2

(an+

1

an

)，{b_n}中bn • log9

an+1

an-1

=1，n∈N*．求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，并求出其通項公式；

Answer 1

分析：把數(shù)列遞推式an+1=

1

2

(an+

1

an

)代入bn • log9

an+1

an-1

=1，整理求得bn+1=

1

2

bn，進而可判斷出：{b_n}為等比數(shù)列，公差為

1

2

首項可求，則數(shù)列的通項公式可得．

解答：證明：由bn+1 • log9

an+1+1

an+1-1

=1?bn+1 • log9

1 2 (an+ 1 an )+1

1 2 (an+ 1 an )-1

=1?bn+1 • log9(

an+1

an-1

)2=1?2bn+1 • log9

an+1

an-1

=1又bn • log9

an+1

an-1

=1
∴bn+1=

1

2

bn
又n=1時，b1 • log9

a1+1

a1-1

=1?b1=2
∴{b_n}為等比數(shù)列，b₁=2，q=

1

2

，∴bn=2 • (

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2

點評：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，數(shù)列的通項公式的運用．考查了不等式與數(shù)列知識的綜合運用．