Question

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為；為橢圓上的四個(gè)點(diǎn)。
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若，且，求四邊形的面積的最大值和最小值.

Answer 1

(Ⅰ)  ；(Ⅱ) 2，

試題分析：(Ⅰ)依題意可得橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為知，在代入點(diǎn)即可得得到一個(gè)關(guān)于的等式從而可求出的值，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ) 由于，所以直線都過F點(diǎn)，從而又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032505842710.png" style="vertical-align:middle;" />所以直線與直線相互垂直.所以四邊形的面積為.故關(guān)鍵是求出線段的長(zhǎng)度.首先要分類存在垂直于軸的情況，和不垂直于軸的情況兩種.前者好求.后者通過假設(shè)一條直線聯(lián)立橢圓方程寫出弦長(zhǎng)的式子，類似地寫出另一條所得到的弦長(zhǎng).通過利用基本不等式即可求得面積的范圍.從而再結(jié)合垂直于軸的情況，求出最大值與最小值.
試題解析：（Ⅰ）由題橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為知故可設(shè)橢圓方程為，過焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的直線方程為，設(shè)此直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)則，又，所以，又，聯(lián)立求得，，故橢圓方程為.
（Ⅱ）由，知，點(diǎn)共線，點(diǎn)共線，
即直線經(jīng)過橢圓焦點(diǎn)。又知，
（i）當(dāng)斜率為零或不存在時(shí)，
（ii）當(dāng)直線存在且不為零時(shí)，可設(shè)斜率為，則由知，的斜率為
所以：直線方程為：。直線方程為:
將直線方程代入橢圓方程，消去并化簡(jiǎn)整理可得
，
設(shè)坐標(biāo)為，則，…………①
從而，將①代入化簡(jiǎn)得
，
將中換成可得,
所以=.
令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032506934646.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.綜上（i）（ii）可知，即四邊形PQMN的最大面積為2，最小面積為.