Question

4．如圖所示，在一半徑等于1千米的圓弧及直線段道路AB圍成的區(qū)域內(nèi)計劃建一條商業(yè)街，其起點和終點均在道路AB上，街道由兩條平行于對稱軸l且關(guān)于l對稱的兩線段EF、CD，及夾在兩線段EF、CD間的弧組成．若商業(yè)街在兩線段EF、CD上收益為每千米2a元，在兩線段EF、CD間的弧上收益為每千米a元．已知$∠AOB=\frac{π}{2}$，設(shè)∠EOD=2θ，
（1）將商業(yè)街的總收益f（θ）表示為θ的函數(shù)；
（2）求商業(yè)街的總收益的最大值．

Answer 1

分析 （1）①求出θ∈（0，$\frac{π}{4}$]時f（θ）的解析式；
②求出θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）時f（θ）的解析式，
利用分段函數(shù)寫出f（θ）在（0，$\frac{π}{2}$）上的解析式；
（2）利用導數(shù)研究函數(shù)f（θ）在（0，$\frac{π}{2}$）上的單調(diào)性并求出最大值．

解答 解：（1）①當θ∈（0，$\frac{π}{4}$]時，ED=2θ，EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+cosθ；
∴f（θ）=2aθ+2a（$\sqrt{2}$+2cosθ）；
②當θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）時，ED+FA+BC=4θ-$\frac{π}{2}$，EF=2cosθ；
∴f（θ）=（4θ-$\frac{π}{2}$）a+2a（4cosθ）；
由①②可得，f（θ）=$\left\{\begin{array}{l}{2a（θ+\sqrt{2}+2cosθ），θ∈（0，\frac{π}{4}]}\\{a（4θ-\frac{π}{4}+8cosθ），θ∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）}\end{array}\right.$；
（2）①當θ∈（0，$\frac{π}{4}$]時，f′（θ）=2a（1-2sinθ）；
由a＞0，填表如下：

θ	（0，$\frac{π}{6}$]	$\frac{π}{6}$	（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）
f′（θ）	+	0	-
f（θ）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴當θ=$\frac{π}{6}$時，f（θ）有最大值為（2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$+$\frac{π}{3}$）a；
②當θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）時，f′（θ）=a（4-8sinθ）；
∵a＞0，且sinθ∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
∴f′（θ）=a（4-8sinθ）＜0，
∴f（θ）在θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）時單調(diào)遞減，
∴f（θ）＜f（$\frac{π}{4}$）；
又∵f（$\frac{π}{4}$）＜f（$\frac{π}{6}$），
∴當θ∈（0，$\frac{π}{2}$）時，在θ=$\frac{π}{6}$時f（θ）取得最大值為（2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$+$\frac{π}{3}$）a；
即θ=$\frac{π}{6}$時，商業(yè)街總收益最大，最大值為（2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$+$\frac{π}{3}$）a．

點評 本題考查了三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，也考查了用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，是難題．