（2004•黃埔區(qū)一模）以橢圓
x2a2
+y2=1（a＞1）短軸一端點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，作橢圓內(nèi)接等腰直角三角形，試判斷并推證能作出多少個(gè)符合條件的三角形．
分析：設(shè)直角三角形一腰所在直線為y=kx+1（k＞0），則另一腰所在直線方程為y=-
1
k
x+1，分別代入橢圓方程，求得兩腰的長(zhǎng)，由兩腰長(zhǎng)相等得關(guān)于k的方程，討論方程的根的個(gè)數(shù)即可得符合條件的三角形的個(gè)數(shù)
解答：解：因a＞1，不防設(shè)短軸一端點(diǎn)為B（0，1），內(nèi)接直角三角形為△ABC，
則兩腰所在直線的斜率一定存在且不為0，?
設(shè)BC：y=kx+1（k＞0）?
則AB：y=-
1
k
x+1
把BC方程代入橢圓，?
得（1+a2k2）x2+2a2kx=0?
∴|BC|=
1+k2
2a2k
1+a2k2
，同理|AB|=
1+k2
2a2
k2+a2

由|AB|=|BC|，得?k3-a2k2+ka2-1=0?
（k-1）[k2+（1-a2）k+1]=0
∴k=1或k2+（1-a2）k+1=0?
當(dāng)k2+（1-a2）k+1=0時(shí)，△=（a2-1）2-4?
由△＜0，得1＜a＜
3

由△=0，得a=
3
，此時(shí)，k=1
故當(dāng)△≤0，即1＜a≤
3
時(shí)，方程（k-1）[k2+（1-a2）k+1]=0有一解?
當(dāng)△＞0即a＞
3
時(shí)，方程（k-1）[k2+（1-a2）k+1]=0有三解
即當(dāng)1＜a≤
3
時(shí)，符合條件的等腰直角三角形只有一個(gè)；
當(dāng)a＞
3
時(shí)，符合條件的等腰三角形可作三個(gè)
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，通過聯(lián)立方程求曲線交點(diǎn)進(jìn)而求弦長(zhǎng)的方法，將符合條件的三角形個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為討論方程根的個(gè)數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2004•黃埔區(qū)一模）已知，二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c及一次函數(shù)g（x）=-bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a+b+c=0．
（Ⅰ）求證：f（x）及g（x）兩函數(shù)圖象相交于相異兩點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)f（x）、g（x）兩圖象交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AB線段在x軸上射影為A1B1時(shí)，試求|A1B1|的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2004•黃埔區(qū)一模）設(shè)集合A={a，b}，且A∪B={a，b，c}，那么滿足條件的集合B共有（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2004•黃埔區(qū)一模）已知
a
=（1，2），
b
=（x，1），當(dāng)（
a
+2
b
）⊥（2
a
-
b
）時(shí)，實(shí)數(shù)x的值為（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2004•黃埔區(qū)一模）給出四個(gè)命題：①若直線a∥平面α，直線b⊥α，則a⊥b；②若直線a∥平面α，a⊥平面β，則α⊥β；③若a∥b，且b?平面α，則a∥α；④若平面α⊥平面β，平面γ⊥β，則α⊥γ．其中不正確的命題個(gè)數(shù)是（　�。�

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案