Question

16．（文）已知函數(shù)f（x）=sin2ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角三角函數(shù)公式和輔助角公式化簡，得到f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．再由三角函數(shù)的周期公式求出ω；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的正弦函數(shù)的圖象的性質(zhì)來求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx（ω＞0）
=$\frac{1-2cos2ωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$
=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
因為函數(shù)f（x）的最小正周期為π，且ω＞0，
所以$\frac{2π}{ω}$=π，
解得ω=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
因為x∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
所以2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
所以-$\frac{1}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1．
所以0≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}$．

點評 本題給出三角函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)的周期與單調(diào)區(qū)間，并求閉區(qū)間上的最值．著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．