Question

13．設(shè)函數(shù)$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$，則下列命題：
①f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{3}$對(duì)稱；
②f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)$（{\frac{π}{6}，0}）$對(duì)稱；
③f（x）的最小正周期為π，且在區(qū)間$[{0，\frac{π}{12}}]$上為增函數(shù)；
④把f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象．
其中正確的命題的序號(hào)為③④．（把正確的都填上）

Answer 1

分析 ①計(jì)算f（$\frac{π}{3}$）的值，判斷$x=\frac{π}{3}$是否為f（x）圖象的對(duì)稱軸；
②計(jì)算f（$\frac{π}{6}$）的值，判斷f（x）的圖象是否關(guān)于點(diǎn)$（{\frac{π}{6}，0}）$對(duì)稱；
③求出f（x）的最小正周期，判斷f（x）在區(qū)間$[{0，\frac{π}{12}}]$上的單調(diào)性；
④根據(jù)平移法則，求出f（x）圖象平移的解析式即可．

解答 解：對(duì)于①，x=$\frac{π}{3}$時(shí)，f（$\frac{π}{3}$）=sin（2×$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$不是最值，
∴f（x）的圖象不關(guān)于直線$x=\frac{π}{3}$對(duì)稱，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，f（$\frac{π}{6}$）=sin（2×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=1≠0，
∴f（x）的圖象不關(guān)于點(diǎn)$（{\frac{π}{6}，0}）$對(duì)稱，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，∴f（x）的最小正周期為π，
又x∈[0，$\frac{π}{12}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）在區(qū)間$[{0，\frac{π}{12}}]$上為增函數(shù)，③正確；
對(duì)于④，把f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位長(zhǎng)度，
得y=sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=sin2x，是奇函數(shù)的圖象，④正確．
綜上，正確的命題序號(hào)為③④．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了命題真假的判斷問(wèn)題，是綜合題．