A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
分析 p1:求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可;
p2:根據(jù)奇函數(shù)的定義判定即可;
p3:對(duì)表達(dá)式變形可得f(x)=x+$\frac{1}{x+1}$=x+1+$\frac{1}{x+1}$-1,利用均值定理判定即可;
p4:先求導(dǎo)函數(shù),函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于f′(x)=lnx-2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖象由兩個(gè)交點(diǎn),在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象.由圖可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答 解:關(guān)于命題p1,f′(x)=$\left\{\begin{array}{l}{2ax,x≥0}\\{a(a+2{)e}^{ax},x<0}\end{array}\right.$;
∴(1)若a>0,x≥0時(shí),f′(x)≥0,
即函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,且ax2+1≥1;
要使f(x)在R上為單調(diào)函數(shù)則x<0時(shí),a(a+2)>0,
∵a>0,∴解得a>0,并且(a+2)eax<a+2,
∴a+2≤1,解得a≤-1,不符合a>0,
∴這種情況不存在;
(2)若a<0,x≥0時(shí),f′(x)≤0,
即函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,且ax2+1≤1;
要使f(x)在R上為單調(diào)函數(shù),則x<0時(shí),a(a+2)<0,
解得-2<a<0,并且(a+2)eax>a+2,
∴a+2≥1,解得a≥-1,∴-1≤a<0;
綜上得a的取值范圍為[-1,0);
故命題p1是假命題;
關(guān)于命題p2:根據(jù)奇函數(shù)的定義可知,
f(-x)=2-x-2x=-f(x),故?x∈R,f(-x)=-f(x),
故命題p2正確;
p3:若f(x)=x+$\frac{1}{x+1}$=x+1+$\frac{1}{x+1}$-1≥1,
且當(dāng)x=0時(shí),等號(hào)成立,故不存在x0∈(0,+∞),f(x0)=1,
故命題p3錯(cuò)誤;
由題意,y′=lnx+1-2ax
令f′(x)=lnx-2ax+1=0得lnx=2ax-1,
函數(shù)y=xlnx-ax2有兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于f′(x)=lnx-2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn),
等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),
在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象(如圖)
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí),直線y=2ax-1與y=lnx的圖象相切,
由圖可知,當(dāng)0<a<$\frac{1}{2}$時(shí),y=lnx與y=2ax-1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,$\frac{1}{2}$);
故命題p4正確,
故選:B.
點(diǎn)評(píng) 本題考查均值不等式,主要考查函數(shù)的零點(diǎn)以及數(shù)形結(jié)合方法,數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì);另外,由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法,很多問題便迎刃而解,且解法簡捷.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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A. | a>c>b | B. | b>c>a | C. | b>a>c | D. | c>b>a |
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A. | (0,$\frac{1}{e}$) | B. | (0,e) | C. | (-∞,$\frac{1}{e}$) | D. | (0,$\frac{1}{e}$] |
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