Question

【題目】已知向量=（sinx，cosx），=（sin（x﹣），sinx），函數(shù)f（x）=2，g（x）=f（）．

（1）求f（x）在[，π]上的最值，并求出相應的x的值；

（2）計算g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）的值；

（3）已知t∈R，討論g（x）在[t，t+2]上零點的個數(shù)．

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

(3) g（x）2個零點.

【解析】

（1）根據(jù)向量的坐標運算，求出f（x）的表達式，再根據(jù)定義域求出最值及相應的自變量。

（2）根據(jù)三角函數(shù)表達式，求出三角函數(shù)的變化周期及函數(shù)值，代入求解。

（3）跟雷討論在t取不同范圍時，交點的個數(shù)問題。

（1）f（x）=2=2sinxsin（x﹣）+2sinxcosx=sin2x+sin2x

=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，

∵x∈[，π]，∴≤2x﹣≤，

∴﹣1≤sin（2x﹣）≤，f（x）最小值為 ﹣1，f（x）最大值為 ．

（2）由（1）得，f（x）=sin（2x﹣）+．∴g（x）=f（）=sin（x﹣）+．T=4，

∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=g（5）+g（6）+g（7）+g（8）=…=g（2009）+g（2010）+g（2011）+g（2012）．g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=，g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）=503×+g（1）+g（2）=1006+= .

（3）g（x）在[t，t+2]上零點的個數(shù)等價于y=sin（x﹣）與y=﹣兩圖象交點個數(shù)．在同一直角坐標系內(nèi)作出這兩個數(shù)的圖象．

當4k＜t＜+4k，k∈Z時，由圖象可知，y=sin（x﹣）與y=﹣兩圖象無交點，g（x）無零點

當+4k≤t＜2+4k或+4k＜t≤4+4k時，y=sin（x﹣）與y=﹣兩圖象1個交點，g（x）1個零點

當2+4k≤t≤+4k時，y=sin（x﹣）與y=﹣兩圖象2個交點，g（x）2個零點.