Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓：的右頂點與拋物線：的焦點重合，其離心率.過作兩條相互垂直的直線與，且交拋物線于，兩點，交橢圓于另一點.

（1）求的值；

（2）求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)由拋物線的方程可得焦點的坐標，由題意可得橢圓的值，再由離心率可得的值，再由之間的關系求出的值，進而求出橢圓的方程；由題意可得直線的斜率不為，設直線的方程與拋物線聯(lián)立求出兩根之積，進而求出數(shù)量積 的值；

(2)由(1)可得弦長表達式，當直線垂直于軸時，由題意可得直線為軸，與橢圓的另一個交點為橢圓的左頂點，求出三角形的面積，當直線不垂直于軸時，設直線的方程與橢圓聯(lián)立求出的坐標，由面積公式可得面積的表達式，換元，求導，由函數(shù)的單調(diào)性求出三角形面積的最小值．

(1)由拋物線的方程可得焦點，由題意可得橢圓的右頂點的坐標為即， 又離心率，可得，所以，

所以橢圓的方程為：，

由交拋物線于兩點可得直線的斜率不為，

設的方程為：，設，

直線與拋物線聯(lián)立，整理可得，

所以，

所以；

(2)由(1)知

，

當時， ，由題意可得，所以；

當，設直線的方程為： ，代入橢圓的方程可得，

可得，

所以， 令，則，

令，

令，可得，

當，，單調(diào)遞減，

當，，單調(diào)遞增，

所以，

故，當且僅當時取等號，

綜上所述面積的最小值為．