設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a5=6,a3=2時(shí),若自然數(shù)k1,k2,…,kn…(n∈N*)滿足5<k1<k2<…<kn<…,使得a3,a5ak1ak2,…akn,…成等比數(shù)列,
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{kn}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)的和.
分析:(1)根據(jù)等差數(shù)列{an}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)求出公差d=2,再求出a1=-2,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出an的表達(dá)式;
(2)由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,算出題中等比數(shù)列的公比q=3,從而得到第n項(xiàng)akn=2•3n+1,根據(jù)akn同時(shí)是{an}的第kn項(xiàng)建立相等關(guān)系,即可得到kn=3n+1+2,最后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可得到數(shù)列{kn}的其前n項(xiàng)的和.
解答:解:(1)∵等差數(shù)列{an}中,a5=6,a3=2
∴{an}的公差d=
a5-a3
5-3
=
6-2
5-3
=2
,可得a1=a3-2d=-2
因此,{an}的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-3)×2=2n-4
(2)∵2,6,ak1,ak2,…akn,…成等比數(shù)列,
∴該數(shù)列的公比q=
6
2
=3,可得akn=2•3n+1,
又∵akn 是等差數(shù)列{an}中的第kn項(xiàng),∴ak n=2kn-4,
因此,2•3n+1=2kn-4,解之得kn=3n+1+2,
∴k1+k2+…kn=(32+2)+(33+2)+(34+2)+…+(3n+1+2)
=(32+33+…3n+1)+2n=
9
2
(3n-1)+2n

即數(shù)列{kn}的通項(xiàng)公式為:kn=3n+1+2,其前n項(xiàng)的和為
9
2
(3n-1)+2n
點(diǎn)評(píng):本題給出等差數(shù)列的第3項(xiàng)、第5項(xiàng)是等比數(shù)列的前2項(xiàng),求等比數(shù)列與等差數(shù)列的公共項(xiàng)按原來(lái)的順序構(gòu)成數(shù)列的通項(xiàng)公式.著重著重考查了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式等知識(shí),屬于中檔題.
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(I)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(II)求數(shù)列{
anbn
}的前n項(xiàng)和Sn

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(1)設(shè)bn=an+1-an,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出其通項(xiàng)公式;
(2)寫(xiě)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(不要求計(jì)算過(guò)程),令cn=
3
2
n(
5
3
-an)
,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn

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