設(shè)p＞0是一常數(shù)，過點(diǎn)Q(2p,0)的直線與拋物線y2=2px交于相異的兩點(diǎn)A、B，以線段AB為直徑作圓H（H為圓心）.試證明拋物線頂點(diǎn)在圓H的圓周上，并求圓H的面積最小時直線AB的方程.

證明：由題意，直線 AB不能是水平線，故可設(shè)直線方程為ky=x-2p.

又設(shè)A(xA,yA)、B(xB,yB),則其坐標(biāo)滿足消去x得y2-2pky-4p2=0.由此得

因此·=xAxB+yAyB=0,即OA⊥OB.故O必在圓H的圓周上.

又由題意圓心H（xH,yH）是AB的中點(diǎn)，

故

由前已證，OH應(yīng)是圓H的半徑，且|OH|=.從而當(dāng)k=0時，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小.此時，直線AB的方程為x=2p.

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